Теорема Піфагора: формула, історія, доведення

Теорема Піфагора про співвідношення між сторонами прямокутного трикутника – дізнайтеся про її визначення, формулу, доведення та історію її винайдення.

Теорема Піфагора – важлива тема в математиці, яка пояснює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Сторони прямокутного трикутника також називають піфагорійськими катетами. Формула і доведення цієї теореми пояснюється тут на прикладах.

Теорема Піфагора в основному використовується для знаходження довжини невідомої сторони і кута трикутника. За цією теоремою можна вивести формули основи, перпендикуляра та гіпотенузи. Давайте детально вивчимо математику теореми Піфагора тут.

Що таке число Фібоначчі (послідовність Фібоначчі)?

Теорема Піфагора – визначення

Теорема Піфагора стверджує: “У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів двох інших катетів”. Сторони цього трикутника називаються перпендикуляром, основою та гіпотенузою.

Тут гіпотенуза є найдовшою стороною, оскільки вона протилежна до кута 90°. Сторони прямокутного трикутника (скажімо, a, b і c), які мають натуральні значення при піднесенні до квадрата, складають рівняння, яке також називають піфагорійським трикутником.

Цікаві факти про Піфагора: математик, голова культу

Історія Теореми Піфагора

Теорема названа на честь грецького математика Піфагора.

Теорема Піфагора була вперше відома в стародавньому Вавилоні та Єгипті (починаючи приблизно з 1900 року до нашої ери). Співвідношення було зображено на вавилонській табличці віком 4000 років, відомій зараз як Плімптон 322. Однак цей зв’язок не був широко розрекламований, доки Піфагор не сформулював його явно.

Математика в житті людини: роль та всюдисющі знання

Теорема Піфагора: формула

Розглянемо трикутник, наведений вище:

де “a” – перпендикуляр,

“b” – основа,

“c” – гіпотенуза.

Згідно з означенням, формула теореми Піфагора має вигляд:

Гіпотенуза² = перпендикуляр² + основа²
c² = a² + b²

Гіпотенуза² = перпендикуляр² + основа²

c² = a² + b²

Сторона, протилежна прямому куту (90°), є найдовшою стороною (відомою як гіпотенуза), оскільки сторона, протилежна найбільшому куту, є найдовшою.

Розглянемо три квадрати зі сторонами a, b, c, встановлені на трьох сторонах трикутника з однаковими сторонами, як показано на рисунку.

За теоремою Піфагора –

Площа квадрата “a” + Площа квадрата “b” = Площа квадрата “c”

Приклад

Приклади застосування теореми Піфагора для прямокутних трикутників:

Розглянемо прямокутний трикутник, як показано нижче:

Покрокова розгадка таємниць: теорема Вієта

Знайдіть значення x.

X – сторона, протилежна прямому куту, отже, вона є гіпотенузою.

Тепер, за відомою нам теоремою;

Гіпотенуза² = основа² + перпендикуляр²

x² = 3² + 4²

x² = 9+16= 25

x = √25= 5

Отже, значення x дорівнює 5.

Доведення теореми Піфагора

Враховуючи її довгу історію, існує безліч доведень (понад 350) теореми Піфагора, можливо, більше, ніж будь-якої іншої теореми математики. Ось доведення від самого Піфагора.

• Дано довільний прямокутний трикутник з катетами a і b і гіпотенузою c,
• Побудуйте квадрат зі сторонами a+b, як показано нижче:

• В результаті утворюється квадрат в центрі зі стороною c і, таким чином, площею c²

• Однак, якщо ми переставимо чотири трикутники наступним чином в середині квадрата, то побачимо два квадрати всередині більшого квадрата, а саме перший площею а², а другий – площею b²

• Оскільки більший квадрат має однакову площу в обох випадках, тобто (a+b)²
• а оскільки чотири трикутники також однакові в обох випадках, то треба зробити висновок, що два квадрати a² і b² фактично дорівнюють за площею більшому квадрату c²

Цікаві факти про математику: магія цифр

Отже, теорему Піфагора доведено.

Зауваження: теорема Піфагора стосується лише прямокутних трикутників.

Джерело: https://byjus.com